Gabarito da atividade para avaliação - Semana 3
CÁLCULO III
Curvas e integrais de linha
Atividade para avaliação
A resposta correta da questão está identificada com a cor Vermelha.
-
(2 pontos) O divergente do campo vetorial E = 2xî -yĵ + 3k̂ é:
- 2x
- 0
- 1
- y
- 2x-y
JUSTIFICATIVA
Div E = -
(2 pontos) O rotacional R do campo vetorial E = yî em R2 é:
- R = 0
- R = -k̂
- R = î
- R = ĵ
- R = k̂
JUSTIFICATIVA
Aplicando-se a definição:
temos que a resposta correta é R = -k̂. -
(2 pontos) Calcule
. O resultado será:
- -3/2
- 0
- 1
- 2
- -2/3
JUSTIFICATIVA
-
(2 pontos) Sobre operadores e campos vetoriais, é correto afirmar que:
- o rotacional de um campo gradiente é nulo.
- o divergente de um campo gradiente é nulo.
- o divergente de um campo gradiente nunca é nulo.
- o divergente de um campo escalar é nulo.
- o rotacional de um campo escalar é nulo.
JUSTIFICATIVA
Sejaum campo escalar e
o seu gradiente. As alternativas (d) e (e) são incorretas, pois um campo escalar não possui nem divergente nem rotacional. As alternativas (b) e (c) também são incorretas, já que
não tem porque ser nulo ou não nulo em geral. Já a alternativa (a) é correta, pois
já que as derivadas parciais de um campo escalar suave comutam. -
(2 pontos)O volume V do sólido limitado superiormente pelo parabolóide
e acima da região do plano (x,y) delimitada por -1≤x≤1e -1≤y≤1 é:
- 2/3
- 0
- 2/5
- 5/2
- 16/3
JUSTIFICATIVA
-
(2 pontos) O valor da integral de linha escalar
, sendo C o triângulo de vértices (0,0), (1,0) e (0,1), percorrido no sentido anti-horário, é:
- 1
JUSTIFICATIVA
Notem que as contribuições dos lados (0,0) – (1,0) e (0,1) – (0,0) do triângulo se anulam, e ficamos apenas com a contribuição do segmento (1,0) – (0,1), que pode ser parametrizado como C=(1-t,t), com 0≤t≤1, e. Teremos:
-
(2 pontos) O valor da integral de linha escalar
, sendo C o círculo unitário percorrido no sentido anti-horário, é:
- -2
- 0
- 1
- 1
- 2
JUSTIFICATIVA
Pode-se ver que a integral se anula por simetria, pois as contribuições do primeiro e terceiro quadrante cancelam as que vêm do segundo e quarto.
Pode-se, também, calcular a integral facilmente. Notem que C=(cos(t),sin(t)), com 0≤t<2π, e ds=dt, o que nos permite escrever:
-
(2 pontos) Considere a hélice circular C=(acos(t),asin(t),t), em
e com as coordenadas cartesianas usuais x,y,z. O comprimento L do segmento da hélice entre os planos z=0 e z=b, com b>0, será:
- ab
JUSTIFICATIVA
Note que o segmento da hélice entre os planos z=0 e z=b corresponde a 0≤t≤b. Teremos: -
(2 pontos) Considere dois cilindros infinitos de raio unitário, um deles localizado ao longo do eixo z, o outro ao longo de eixo y. O volume da intersecção desses dois cilindros é:
- 16/3
- 4/3
- 2/3
- 8/3
- 1
JUSTIFICATIVA
Os cilindros em questão são as superfícies dadas por. A intersecção desses dois cilindros é a região de
delimitada por
, vejam a figura abaixo.
Seu volume será
Esse sólido é conhecido na literatura como sólido de Steinmetz. -
(2 pontos)A área de uma elipse de equação
é:
JUSTIFICATIVA
Notem que essa área corresponde a integral dupla: