Gabarito da atividade para avaliação - Semana 3

CÁLCULO III
3

Curvas e integrais de linha

Atividade para avaliação

A resposta correta da questão está identificada com a cor Vermelha.

  1. (2 pontos) O divergente do campo vetorial E = 2xî -yĵ + 3k̂ é:
    1. 2x
    2. 0
    3. 1
    4. y
    5. 2x-y

    JUSTIFICATIVA

    Div E = numerador diferencial parcial sobre denominador diferencial parcial x fim da fração abre parênteses 2 x fecha parênteses mais numerador diferencial parcial sobre denominador diferencial parcial y fim da fração abre parênteses menos y fecha parênteses mais numerador diferencial parcial sobre denominador diferencial parcial z fim da fração abre parênteses 3 fecha parênteses igual a 2 menos 1 mais 0 igual a 1



  2. (2 pontos) O rotacional R do campo vetorial E = yî em R2 é:
    1. R = 0
    2. R = -k̂
    3. R = î
    4. R = ĵ
    5. R = k̂

    JUSTIFICATIVA

    Aplicando-se a definição:

    nabla sinal de multiplicação E com seta para a direita sobrescrito igual a abre parênteses numerador diferencial parcial E z sobre denominador diferencial parcial y fim da fração menos numerador diferencial parcial E y sobre denominador diferencial parcial z fim da fração fecha parênteses espaço i conjunção lógica mais abre parênteses numerador diferencial parcial E x sobre denominador diferencial parcial z fim da fração menos numerador diferencial parcial E z sobre denominador diferencial parcial x fim da fração fecha parênteses espaço j conjunção lógica mais abre parênteses numerador diferencial parcial E y sobre denominador diferencial parcial x fim da fração menos numerador diferencial parcial E x sobre denominador diferencial parcial y fim da fração fecha parênteses k conjunção lógica igual a abre parênteses 0 menos 0 fecha parênteses i conjunção lógica mais abre parênteses 0 menos 0 fecha parênteses j conjunção lógica mais abre parênteses 0 menos 1 fecha parênteses k conjunção lógica igual a menos k conjunção lógica

    temos que a resposta correta é R = -k̂.



  3. (2 pontos) Calcule integral com 0 subscrito com 1 sobrescrito integral com menos 1 subscrito fim do subscrito com 1 sobrescrito integral com 0 subscrito com 1 sobrescrito abre parênteses 2 x y menos z ao quadrado fecha parênteses d z d y d x. O resultado será:
    1. -3/2
    2. 0
    3. 1
    4. 2
    5. -2/3

    JUSTIFICATIVA

    integral com 0 subscrito com 1 sobrescrito integral com menos 1 subscrito fim do subscrito com 1 sobrescrito integral com 0 subscrito com 1 sobrescrito abre parênteses 2 x y menos z ao quadrado fecha parênteses d z d y d x espaço igual a espaço integral com 0 subscrito com 1 sobrescrito integral com menos 1 subscrito fim do subscrito com 1 sobrescrito abre parênteses 2 x y menos z sobre 3 ao cubo fecha parênteses com 0 subscrito com 1 sobrescrito d y d x espaço igual a espaço integral com 0 subscrito com 1 sobrescrito integral com menos 1 subscrito fim do subscrito com 1 sobrescrito abre parênteses 2 x y menos 1 terço fecha parênteses d y d x espaço igual a integral com 0 subscrito com 1 sobrescrito abre parênteses numerador 2 x y ao quadrado sobre denominador 2 fim da fração menos y sobre 3 fecha parênteses com menos 1 subscrito fim do subscrito com 1 sobrescrito d x espaço igual a espaço integral com 0 subscrito com 1 sobrescrito abre parênteses menos 2 sobre 3 fecha parênteses d x espaço igual a espaço menos 2 sobre 3 integral com 0 subscrito com 1 sobrescrito d x igual a menos 2 sobre 3



  4. (2 pontos) Sobre operadores e campos vetoriais, é correto afirmar que:
    1. o rotacional de um campo gradiente é nulo.
    2. o divergente de um campo gradiente é nulo.
    3. o divergente de um campo gradiente nunca é nulo.
    4. o divergente de um campo escalar é nulo.
    5. o rotacional de um campo escalar é nulo.

    JUSTIFICATIVA

    Seja fi um campo escalar e E com seta para a direita sobrescrito igual a diferencial parcial com x subscrito fi i à potência de conjunção lógica mais diferencial parcial com y subscrito fi j à potência de conjunção lógica mais diferencial parcial com z subscrito fi k à potência de conjunção lógica o seu gradiente. As alternativas (d) e (e) são incorretas, pois um campo escalar não possui nem divergente nem rotacional. As alternativas (b) e (c) também são incorretas, já que
    nabla. E com seta para a direita sobrescrito igual a diferencial parcial com x subscrito com 2 sobrescrito ϕ mais diferencial parcial com y subscrito com 2 sobrescrito ϕ mais diferencial parcial com z subscrito com 2 sobrescrito fi
    não tem porque ser nulo ou não nulo em geral. Já a alternativa (a) é correta, pois
    nabla sinal de multiplicação E com seta para a direita sobrescrito igual a abre parênteses diferencial parcial com y subscrito diferencial parcial com z subscrito ϕ menos diferencial parcial com z subscrito diferencial parcial com y subscrito fi fecha parênteses i à potência de conjunção lógica mais abre parênteses diferencial parcial com z subscrito diferencial parcial com y subscrito ϕ menos diferencial parcial com y subscrito diferencial parcial com z subscrito fi fecha parênteses j à potência de conjunção lógica mais abre parênteses diferencial parcial com x subscrito diferencial parcial com y subscrito ϕ menos diferencial parcial com y subscrito diferencial parcial com x subscrito fi fecha parênteses k à potência de conjunção lógica igual a 0

    já que as derivadas parciais de um campo escalar suave comutam.



  5. (2 pontos)O volume V do sólido limitado superiormente pelo parabolóide z igual a 2 menos x ao quadrado menos y ao quadrado e acima da região do plano (x,y) delimitada por -1≤x≤1e -1≤y≤1 é:
    1. 2/3
    2. 0
    3. 2/5
    4. 5/2
    5. 16/3

    JUSTIFICATIVA

    V igual a integral com menos 1 subscrito fim do subscrito com 1 sobrescrito integral com menos 1 subscrito fim do subscrito com 1 sobrescrito integral com 0 subscrito com 2 menos x ao quadrado menos y ao quadrado sobrescrito fim do sobrescrito d z d y d x igual a integral com menos 1 subscrito fim do subscrito com 1 sobrescrito integral com menos 1 subscrito fim do subscrito com 1 sobrescrito abre parênteses 2 menos x ao quadrado menos y ao quadrado fecha parênteses d y d x igual a integral com menos 1 subscrito fim do subscrito com 1 sobrescrito espaço abre parênteses 2 y menos x ao quadrado y menos y ao cubo sobre 3 fecha parênteses com menos 1 subscrito fim do subscrito com 1 sobrescrito espaço d x igual a 2 integral com menos 1 subscrito fim do subscrito com 1 sobrescrito espaço abre parênteses 5 sobre 3 menos x ao quadrado fecha parênteses d x igual a 2 espaço espaço abre parênteses numerador 5 x sobre denominador 3 fim da fração menos x ao cubo sobre 3 fecha parênteses com menos 1 subscrito fim do subscrito com 1 sobrescrito igual a 16 sobre 3



  6. (2 pontos) O valor da integral de linha escalar integral com C subscrito x y d s, sendo C o triângulo de vértices (0,0), (1,0) e (0,1), percorrido no sentido anti-horário, é:
    1. numerador raiz quadrada de 2 sobre denominador 6 fim da fração
    2. 2 raiz quadrada de 2
    3. 1
    4. numerador raiz quadrada de 2 sobre denominador 4 fim da fração
    5. numerador raiz quadrada de 2 sobre denominador 2 fim da fração

    JUSTIFICATIVA

    Notem que as contribuições dos lados (0,0) – (1,0) e (0,1) – (0,0) do triângulo se anulam, e ficamos apenas com a contribuição do segmento (1,0) – (0,1), que pode ser parametrizado como C=(1-t,t), com 0≤t≤1, e d s igual a raiz quadrada de 2 d t. Teremos:
    integral com C subscrito x y d s espaço igual a raiz quadrada de 2 integral com 0 subscrito com 1 sobrescrito abre parênteses 1 menos t fecha parênteses t d t espaço igual a raiz quadrada de 2 integral com 0 subscrito com 1 sobrescrito abre parênteses t menos t ao quadrado fecha parênteses d t igual a raiz quadrada de 2 espaço abre parênteses t ao quadrado sobre 2 menos t ao cubo sobre 3 fecha parênteses com 0 subscrito com 1 sobrescrito espaço igual a espaço numerador raiz quadrada de 2 sobre denominador 6 fim da fração



  7. (2 pontos) O valor da integral de linha escalar integral com C subscrito x y d s, sendo C o círculo unitário percorrido no sentido anti-horário, é:
    1. -2
    2. 0
    3. 1
    4. 1
    5. 2

    JUSTIFICATIVA

    Pode-se ver que a integral se anula por simetria, pois as contribuições do primeiro e terceiro quadrante cancelam as que vêm do segundo e quarto.

    Pode-se, também, calcular a integral facilmente. Notem que C=(cos(t),sin(t)), com 0≤t<2π, e ds=dt, o que nos permite escrever:

    integral com C subscrito x y d s igual a integral com 0 subscrito com 2 reto pi sobrescrito fim do sobrescrito c o s abre parênteses t fecha parênteses s i n abre parênteses t fecha parênteses d t espaço igual a espaço integral com 0 subscrito com 2 reto pi sobrescrito fim do sobrescrito numerador s e n abre parênteses 2 t fecha parênteses sobre denominador 2 fim da fração d t espaço igual a 1 meio.1 meio abre parênteses menos c o s 2 t fecha parênteses com 0 subscrito com 2 reto pi sobrescrito fim do sobrescrito igual a 1 quarto.0 igual a 0



  8. (2 pontos) Considere a hélice circular C=(acos(t),asin(t),t), em R ao cubo e com as coordenadas cartesianas usuais x,y,z. O comprimento L do segmento da hélice entre os planos z=0 e z=b, com b>0, será:
    1. a raiz quadrada de 2 b ao quadrado fim da raiz mais 1
    2. ab
    3. b raiz quadrada de 2 a ao quadrado fim da raiz mais 1
    4. b ao quadrado
    5. a ao quadrado

    JUSTIFICATIVA

    Note que o segmento da hélice entre os planos z=0 e z=b corresponde a 0≤t≤b. Teremos:

    L igual a integral com 0 subscrito com b sobrescrito raiz quadrada de a ao quadrado mais 1 fim da raiz d t igual a raiz quadrada de a ao quadrado mais 1 fim da raiz integral com 0 subscrito com b sobrescrito d t igual a b raiz quadrada de a 2 mais 1 fim da raiz



  9. (2 pontos) Considere dois cilindros infinitos de raio unitário, um deles localizado ao longo do eixo z, o outro ao longo de eixo y. O volume da intersecção desses dois cilindros é:
    1. 16/3
    2. 4/3
    3. 2/3
    4. 8/3
    5. 1

    JUSTIFICATIVA

    Os cilindros em questão são as superfícies dadas por x ao quadrado mais y ao quadrado igual a 1 espaço e espaço x ao quadrado mais z ao quadrado igual a 1. A intersecção desses dois cilindros é a região de R ao cubo delimitada por x ao quadrado mais y ao quadrado menor ou igual a 1 espaço e espaço menos raiz quadrada de abre parênteses 1 menos x ao quadrado fecha parênteses fim da raiz menor ou igual a z menor ou igual a raiz quadrada de abre parênteses 1 menos x ao quadrado fecha parênteses fim da raiz, vejam a figura abaixo.

    Calculo III semana 3- Gabarito.png
    Seu volume será

    integral com menos 1 subscrito fim do subscrito com 1 sobrescrito integral com menos raiz quadrada de 1 menos x ao quadrado fim da raiz subscrito fim do subscrito com raiz quadrada de 1 menos x ao quadrado fim da raiz sobrescrito fim do sobrescrito integral com menos raiz quadrada de 1 menos x ao quadrado fim da raiz subscrito fim do subscrito com raiz quadrada de 1 menos x ao quadrado fim da raiz sobrescrito fim do sobrescrito d z d y d x igual a 2 integral com menos 1 subscrito fim do subscrito com 1 sobrescrito integral com menos raiz quadrada de 1 menos x ao quadrado fim da raiz subscrito fim do subscrito com raiz quadrada de 1 menos x ao quadrado fim da raiz sobrescrito fim do sobrescrito raiz quadrada de 1 menos x ao quadrado fim da raiz d y d z igual a 4 integral com menos 1 subscrito fim do subscrito com 1 sobrescrito abre parênteses 1 menos x ao quadrado fecha parênteses d x igual a 16 sobre 3

    Esse sólido é conhecido na literatura como sólido de Steinmetz.



  10. (2 pontos)A área de uma elipse de equação x ao quadrado sobre a ao quadrado mais y ao quadrado sobre b ao quadrado igual a 1 é:
    1. a b reto pi
    2. a ao quadrado reto pi
    3. b ao quadrado reto pi
    4. abre parênteses a b mais a ao quadrado fecha parênteses reto pi
    5. abre parênteses a b mais b ao quadrado fecha parênteses reto pi

    JUSTIFICATIVA

    Notem que essa área corresponde a integral dupla:

    integral com menos reto a subscrito fim do subscrito com reto a sobrescrito integral com menos b índice radical espaço em branco de 1 menos x ao quadrado sobre a ao quadrado fim da raiz subscrito fim do subscrito com b índice radical espaço em branco de 1 menos x ao quadrado sobre a ao quadrado fim da raiz sobrescrito fim do sobrescrito dydx igual a 2 reto b integral com menos reto a subscrito fim do subscrito com reto a sobrescrito raiz quadrada de 1 menos reto x ao quadrado sobre reto a ao quadrado fim da raiz dx espaço espaço espaço espaço espaço Fazendo espaço reto x igual a asenθ vírgula espaço dx igual a acosθdθ espaço espaço 2 reto b integral com menos reto a subscrito fim do subscrito com reto a sobrescrito raiz quadrada de 1 menos reto x ao quadrado sobre reto a ao quadrado fim da raiz dx espaço igual a 2 ab integral com menos reto pi sobre 2 subscrito fim do subscrito com reto pi sobre 2 sobrescrito fim do sobrescrito parêntese esquerdo reto teta parêntese direito dθ igual a ab integral com menos reto pi sobre 2 subscrito fim do subscrito com reto pi sobre 2 sobrescrito fim do sobrescrito parêntese esquerdo 1 menos cos espaço cos espaço abre parênteses 2 reto teta fecha parênteses espaço dθ igual a ab abre parênteses integral com igual a reto pi sobre 2 subscrito fim do subscrito com reto pi sobre 2 sobrescrito fim do sobrescrito dθ integral com menos reto pi sobre 2 subscrito fim do subscrito com reto pi sobre 2 sobrescrito fim do sobrescrito igual a ab igual a 22 dθ fecha parênteses menos menos 22 cos espaço 2 θdθ espaço igual a πab espaço